Proceso de difusión de una infección

Consideraré a una población inicialmente sana. La infección se va propagando mediante una tasa de contagio hasta alcanzar a toda la población. Se pueden encontrar las siguientes relaciones:

R1: + tasa de contagio (TC) ==> +poblacion infectada (PI)

A su vez, R2: +poblacion infectada (PI) ==> +tasa de contagio (TC)

R3: +poblacion infectada (PI) ==> -poblacion vulnerable (PV)

R4: +población vulnerable (PV) ==> +tasa de contagio (TC)

El conjunto de estas relaciones conduce al diagrama integrado siguiente:

Lo importante es apreciar como desde los enunciado, las relaciones, podemos llegar a este diagrama de influencias o diagrama causal. Estos encunciados serán facilitados por los especialistas en los tipos de procesos que se trabajen. Es por esto que en un trabajo de modelado se requiere de especialistas del sistema que estamos estudiando.

Más adelante se verá esta relacion de ida y vuelta que se tiene con la tasa de contagio (TC) y la población infectada (PI), como saben, los que llevaron el curso con el Ing. Llanos, una relación no es directamente de ida y vuelta, siempre hay intermediarios para que se retroalimente. Solo que como este es un modelo sencillo, inicial no se está tomando en cuenta.

Ahora correspondería identificar los tipos de variables que encontramos en el diagrama causal.

La unica variable de nivel sería la Poblacion Infectada (PI), y su crecimiento, osea la variable de flujo sería la Tasa de Contagio (TC). Vemos que se cumple la relacion:

Tasa de Contagio (TC) ==> Poblacion Infectada (PI)

La poblacion vulnerable es una variable auxiliar, debido a que representa un paso intermedio para la determinacion de la tasa de contagio a partir de la poblacion infectada y la población total. También encontramos a las variables exógenas, son aquellas que no estamos modelando y que se convierten en externas a nuestro modelo, esto va a depender del modelo que hayamos creado. En este caso tendríamos a la población total (PT). Además encontramos en el modelo ciertos parámetros que son util para completar el modelo como: las infecciones por contagio (IPC), la tasa normal de contagio (TNC)

Entonces, con estos datos podemos ir realizando el diagrama forrester, el cual quedaría del siguiente modo:

Vamos a ver como para los sistemas mas grandes el paso del diagrama causal al forrester es mas sencillo que el previo estudio y determinacion de las causalidades. En el diagrama forrester podemos colocar las ecuaciones matemáticas funcionales del modelo. A continuación se muestran las ecuaciones funcionales de modelo.

Primero la relación entre la tasa de contagio(TC) y la poblacion infectada (PInf):

PInf(t) = PInf(t - dt) + (TC) * dt

Lo que indica que para calcular la poblacion infectada en el tiempo t sumamos la cantidad la poblacion que había en el tiempo t-dt  y  la tasa de contagio multiplicado por el dt transcurrido.

La ecuacion anterior tambien se puede expresar del siguiente modo:

dPinf/dt = TC(t)...............(1)

Para hallar la tasa de contagio tenemos la siguiente ecuacion:

TC(t) = IPC*TNC*PVul(t)*PInf(t) ...........(2)

Esta ecuacion es una muestra de lo que se conoce como ecuacion de flujo.

Ademas tambien aparace la variable auxiliar poblacion vulnerable (PVul) la cual la calculamos:

PVul = PT-PInf..............(3)

Reemplazando (2) en (3):

TC(t) = IPC*TNC*(PT-PInf(t))*PInf(t)

Sea x=Pinf(t), p=IPC*TNC y v=PT:

TC(t)= p*(v-x)*x........(4)

Reemplazando (4) en (1):

dx/dt=px(v-x)

Esta es una ecuación de la forma:

dx/dt=f(x,p)

que representa lo que los matemáticos conocen como un sistema dinámico.

Estas ecuaciones se pueden llevar a simulación en un computador usando diversos programas. Uno de ellos, el que yo voy a usar en mis modelos es el Stella v.8 el cual me arroja lo siguiente:

La interpretación de este modelo es simple y facil de entender por las pocas variables consideradas. Este fue un ejemplo ilustrativo para que se familiaricen, quienes no lo estan con la simulacion de un sistema. El modelo varia si consideramos el aumento de la poblacion o muertes causadas por la infección, cosa que en este modelo no se ha considerado.

Tercer capítulo

Observemos del siguiente gráfico un diagrama basico del proceso de llenar un vaso de agua: a) Con un grafo orientado; b) Con un grafo signado.

En el grafico, la variable flujo de agua representa la variacion con respecto al tiempo del nivel alcanzado por el vaso. Matemáticamente podemos expresarlo:

dX/dt==>X                                                (1)      

Donde dX/dt denota la variación con respecto al tiempo de la magnitud X, esta variación influye en el crecimiento de la propia variable X. La variable X resulta de la acumulacion del cambio implícito en la variable dX/dt. Esta variable X se denomina variable de nivel o variable de estado y la variable dX/dt variable de flujo.

Podemos identificar dentro de un diagrama de influencias, diagrama causal, tres tipos de variables: variables de nivel o estado, variables de flujo y variables auxiliares.

Las variables de nivel son las que usualmente son las mas importantes y son aquellas magnitudes cuya evolucion es verdaderamente significativa. Las variables de flujo son aquellas que están asociadas a las variables de nivel, las cuales determinan su variacion a traves del tiempo. Y las variables auxiliares representan pasos intermedios para hallar las variables de flujo a traves de las variables de nivel.

Introducción a la Dinámica de Sistemas, Aracil

Estuve buscando en los libros de donde el Ing. Llanos había sacado el término de "variable de nivel" y es que cuando uno comienza a hacer los diagramas forrester se encuentra con el témino "stock" que he estado traduciendo como "existencias". Sin embargo, al fin me decidí a terminar de leer un libro que lo tenía 'empolvado' entre mis archivos de mi pc y encontré el libro Introducción a la Dinámica de Sistemas de Javier Aracil donde encontré que hacia mención a los "stock" como variables de nivel.

Este libro consta de cuatro capítulos.

Primero podemos observar una introducción para aquellos que están iniciando con la dinámica de sistemas, generalidades, algunas definiciones básicas como definir que es un sistema y las aplicaciones de la dinámica de sistemas, que quise mencionarlas pero prefiero que se den cuenta cuando empiece a realizar modelos.

En el segundo capítulo se señala la estructura general de cualquier sistema, se muestra un lenguaje elemental para la descripcion de los sistemas. Detallando los bucles de retroalimentacion positiva, negativa, así como una explicación de los retrasos. 

A partir del tercer capítulo, se pasa de la estructura realizada en el segundo capitulo al comportamiento.

Finalmente el cuarto capitulo, trata de la construccion y el analisis de un modelo.

Los dos primeros capitulos, si lo llegan a leer son definiciones basicas encontradas en cualquier libro. A los dos ultimos capitulos me gustaría postear y analizar algunas cosas que mostraré en otras entradas.

Relación entre el Pensamiento Sistémico y la DS

El pensamiento sistémico aborda a los problemas de la misma manera en que lo hace la dinámica de sistemas. Ambas comparten las mismas tecnicas para mapear bucles causales. Sin embargo la dinámica de sistemas toma un paso adicional, el cual es la construcción de un modelo de simulación por computadora para confirmar que la estructura que teníamos como hipótesis nos puede llevar al comportamiento observado, y además el probar los efectos de la alternativa que desarrollemos en las variables principales a lo largo del tiempo. Basado en: Sociedad de la Dinámica de Sistemas

Entonces, podemos obviamente afirmar que la dinámica de sistemas utiliza al pensamiento sistémico para abordar y estudiar al sistema, encontrar las causalidades y bucles de retroalimentación, para despues señalar un problema y luego, utilizando una herramienta, el computador, genera un modelo por computadora para poder testear una solución propuesta por nosotros.

La Dinámica de Sistemas

En realidad esta parte de saber de que trata la metodología no es dificil, llevé este curso con el Ing. Llanos y saber los pasos que tienes que seguir no es lo tranca. Lo dificil es poder aplicar lo que se aprende adecuadamente, comprendiendo el sistema a estudiar, así como su comportamiento a traves del tiempo.

La metodología, como lo plantea la Sociedad de la Dinámica de Sistemas:

• Identificar el problema.
• Desarrollar una hipótesis que explique la causa del problema.
• Construir un modelo de simulación por computadora del sistema a raíz del problema.
• Testear el modelo para estar seguros que reproduce el comportamiento observado en el mundo real.
• Diseñar y testear en el modelo una alternativa para solucionar el problema, y
• Implementar la solución.

A criterio personal la parte mas difícil es poder identificar el problema y analizar las causas, esto debido a que no podemos identificar el problema de algún sistema que no conocemos, por lo que primero se tiene que realizar una recopilación de información para poder conocer bien al sistema y luego intentar identificar el problema mediante algún diagrama causal, si ya se logra superar esto, el resto de pasos es un poco menos agotador que los anteriores.

¿Dinámica de Sistemas o Sistemas Dinámicos?

Cuando estaba cursando el segundo ciclo cometí, lo que me pareció en ese entonces, un error al confundir y no poder distinguir entre la dinámica de sistemas y un sistema dinámico. Pregunté a los chicos de ciclos superiores, pero lamentablemente no busqué bien y me dieron respuestas más alejadas a la que yo tenía.

Decidí buscar por mi propia cuenta y recien ahora me animo a escribir algo que suena tan simple y obvio para algunos:

La dinámica de sistemas es la metodología con la que se aborda y estudia sistemas complejos retroalimentados. Basado en: Sociedad de la Dinámica de Sistemas.

Y si hablamos de un sistema dinámico este se puede considerar como un sistema cambiante que evoluciona en el tiempo con muchos elementos y relaciones que hacen que pase de un estado a otro. Basado en: Wikipedia

Ahora bien, entonces se podría decir, y queda como pregunta, que:

La dinámica de sistemas es una herramienta para el estudio y modelamiento de los sistemas dinámicos.

Encontré estas pequeñas líneas importantes en el libro Introducción a la Dinámica de Sistemas de Aracil:

Un modelo de dinámica de sistemas es un sistema dinámico.

¿Qué es el pensamiento Sistémico?

Muchas veces escuché decir el término 'pensamiento sistémico', he estado buscando, escuchando distintas clases y encontré una definición y algunos datos extra acerca del pensamiento sistémico.

En realidad intentandolo explicar con mis palabras, o con lo más recuerdo de lo leído.

El pensamiento sistémico simplemente es una manera distinta de pensar, una manera distinta de abordar generar modelos de la realidad. Usualmente cuando generamos modelos del mundo tendemos a separarlos en dos grandes grupos: el primero considerado como eventos que ocurren aleatoriamente, sin relacion alguna con otro elemento, independientes del sistema al que estemos analizando; en el segundo grupo encontramos a una causalidad simple, sustentando que un evento A provoca a un B y este a su vez provoca a un C y eso es todo, como cuando nos sucede un hecho un día y sabemos que solo va a afectar el día siguiente, etc. ( A=>B=>C)

El pensamiento sistémico plantea salir de estos dos modos de abordar la realidad y plantea lo siguiente:

• Existe una innumerable cantidad de sistemas en el mundo, podemos encontrar sistemas en todos los niveles, desde los niveles mas inferiores como los llamados subatómicos, pasando por el hombre, las organizaciones, los ecosistemas, hasta la interacción de los planetas y galaxias.
• Estos sistemas funcionan con una causalidad circular, esto es que ahora tenemos, por ejemplo que A puede ocasionar un efecto B, éste a su vez un efecto C y éste a su vez regresar a afectar A.
• Estas retroalimentaciones pueden ser de dos tipos: retroalimentaciones positivas, las cuales refuerzan y hacen crecer al sistema, y las retroalimentaciones negativas, las cuales son de balance o disminucion de alguna existencia.
• El comportamiento de estos sistemas a traves del tiempo es controlado por su propia estructura, esto es, basicamente por los elementos que componen al sistema y las retroalimentaciones, positivas y/o negativas, que controlan los flujos en el sistema.

Toda la teoría y aplicaciones que se van a ver luego se basan en la idea que ahora se tiene del pensamiento sistémico.

Basado en: Modeling System Self-Taught (Introducción)

Léame

Voy a ir a colocando información que estoy recopilando a manera de poder entender lo más claro posible la teoría de la dinámica de sistemas, así como realizar de a pocos modelos del mundo a manera de práctica, con la finalidad de poder realizar cada vez modelos más complejos.