Empezando a modelar

Un modelo de un sistema es una descripción de éste que permita dar cuenta de su estructura y de su comportamiento.

En el estudio de un comportamiento problemático de un sistema debemos ser capaces de asociarle una estructura que lo genere:

Una vez construida la estructura podemos estudiar por simulación los comportamientos que genera:En el proceso de modelado se pueden considerar las siguientes fases:

Como vemos no es un proceso unidireccional, siempre se regresa a mejorar o cambiar la fase anterior.

Definición del problema:

Consiste en definir claramente el problema y establecer si es adecuado para ser descrito con los útiles sistémicos que se conocen. Para ello el problema debe ser susceptible de ser analizado en elementos componentes, los cuales llevan asociadas magnitudes cuya variación a lo largo del tiempo queremos estudiar.

Conceptualización del problema:

En esta etapa se definen los distintos elementos que integran la descripción del sistema así como las influencias que se producen entre ellos. El resultado de esta fase es el establecimiento del diagrama de influencias del sistema o diagrama causal como lo conocí en clase.

Formalización:

En esta fase se pretende convertir el diagrama causal en el de Forrester. Al final de esta fase se dispone de un modelo del sistema programa en un computador.

Comportamiento del modelo:

Consiste en la simulación informática del modelo para determinar las trayectorias que genera.

Evaluación del modelo:

Aquí se somete el modelo a una serie de ensayos y análisis para evaluar su validez y calidad. Además se incluye el análisis de sensibilidad del modelo, y por tanto, de las conclusiones que se extraigan de él, con relación a los valores numéricos de los parámetros que incorpora o las hipótesis estructurales.

Explotación del modelo:

En esta última fase el modelo se emplea para analizar políticas alternativas que pueden aplicarse al sistema que se está estudiando.

El proceso de modelado no consiste en recorrer secuencialmente, y por orden correlativo, estas fases sino que, con mucha frecuencia, al completar alguna de ellas debemos volver hacia atras a una fase anterior para reconsiderar algunos supuestos que hasta entonces habíamos considerados validos.

Proceso de difusión de una infección

Consideraré a una población inicialmente sana. La infección se va propagando mediante una tasa de contagio hasta alcanzar a toda la población. Se pueden encontrar las siguientes relaciones:

R1: + tasa de contagio (TC) ==> +poblacion infectada (PI)

A su vez, R2: +poblacion infectada (PI) ==> +tasa de contagio (TC)

R3: +poblacion infectada (PI) ==> -poblacion vulnerable (PV)

R4: +población vulnerable (PV) ==> +tasa de contagio (TC)

El conjunto de estas relaciones conduce al diagrama integrado siguiente:

Lo importante es apreciar como desde los enunciado, las relaciones, podemos llegar a este diagrama de influencias o diagrama causal. Estos encunciados serán facilitados por los especialistas en los tipos de procesos que se trabajen. Es por esto que en un trabajo de modelado se requiere de especialistas del sistema que estamos estudiando.

Más adelante se verá esta relacion de ida y vuelta que se tiene con la tasa de contagio (TC) y la población infectada (PI), como saben, los que llevaron el curso con el Ing. Llanos, una relación no es directamente de ida y vuelta, siempre hay intermediarios para que se retroalimente. Solo que como este es un modelo sencillo, inicial no se está tomando en cuenta.

Ahora correspondería identificar los tipos de variables que encontramos en el diagrama causal.

La unica variable de nivel sería la Poblacion Infectada (PI), y su crecimiento, osea la variable de flujo sería la Tasa de Contagio (TC). Vemos que se cumple la relacion:

Tasa de Contagio (TC) ==> Poblacion Infectada (PI)

La poblacion vulnerable es una variable auxiliar, debido a que representa un paso intermedio para la determinacion de la tasa de contagio a partir de la poblacion infectada y la población total. También encontramos a las variables exógenas, son aquellas que no estamos modelando y que se convierten en externas a nuestro modelo, esto va a depender del modelo que hayamos creado. En este caso tendríamos a la población total (PT). Además encontramos en el modelo ciertos parámetros que son util para completar el modelo como: las infecciones por contagio (IPC), la tasa normal de contagio (TNC)

Entonces, con estos datos podemos ir realizando el diagrama forrester, el cual quedaría del siguiente modo:

Vamos a ver como para los sistemas mas grandes el paso del diagrama causal al forrester es mas sencillo que el previo estudio y determinacion de las causalidades. En el diagrama forrester podemos colocar las ecuaciones matemáticas funcionales del modelo. A continuación se muestran las ecuaciones funcionales de modelo.

Primero la relación entre la tasa de contagio(TC) y la poblacion infectada (PInf):

PInf(t) = PInf(t - dt) + (TC) * dt

Lo que indica que para calcular la poblacion infectada en el tiempo t sumamos la cantidad la poblacion que había en el tiempo t-dt  y  la tasa de contagio multiplicado por el dt transcurrido.

La ecuacion anterior tambien se puede expresar del siguiente modo:

dPinf/dt = TC(t)...............(1)

Para hallar la tasa de contagio tenemos la siguiente ecuacion:

TC(t) = IPC*TNC*PVul(t)*PInf(t) ...........(2)

Esta ecuacion es una muestra de lo que se conoce como ecuacion de flujo.

Ademas tambien aparace la variable auxiliar poblacion vulnerable (PVul) la cual la calculamos:

PVul = PT-PInf..............(3)

Reemplazando (2) en (3):

TC(t) = IPC*TNC*(PT-PInf(t))*PInf(t)

Sea x=Pinf(t), p=IPC*TNC y v=PT:

TC(t)= p*(v-x)*x........(4)

Reemplazando (4) en (1):

dx/dt=px(v-x)

Esta es una ecuación de la forma:

dx/dt=f(x,p)

que representa lo que los matemáticos conocen como un sistema dinámico.

Estas ecuaciones se pueden llevar a simulación en un computador usando diversos programas. Uno de ellos, el que yo voy a usar en mis modelos es el Stella v.8 el cual me arroja lo siguiente:

La interpretación de este modelo es simple y facil de entender por las pocas variables consideradas. Este fue un ejemplo ilustrativo para que se familiaricen, quienes no lo estan con la simulacion de un sistema. El modelo varia si consideramos el aumento de la poblacion o muertes causadas por la infección, cosa que en este modelo no se ha considerado.

Tercer capítulo

Observemos del siguiente gráfico un diagrama basico del proceso de llenar un vaso de agua: a) Con un grafo orientado; b) Con un grafo signado.

En el grafico, la variable flujo de agua representa la variacion con respecto al tiempo del nivel alcanzado por el vaso. Matemáticamente podemos expresarlo:

dX/dt==>X                                                (1)      

Donde dX/dt denota la variación con respecto al tiempo de la magnitud X, esta variación influye en el crecimiento de la propia variable X. La variable X resulta de la acumulacion del cambio implícito en la variable dX/dt. Esta variable X se denomina variable de nivel o variable de estado y la variable dX/dt variable de flujo.

Podemos identificar dentro de un diagrama de influencias, diagrama causal, tres tipos de variables: variables de nivel o estado, variables de flujo y variables auxiliares.

Las variables de nivel son las que usualmente son las mas importantes y son aquellas magnitudes cuya evolucion es verdaderamente significativa. Las variables de flujo son aquellas que están asociadas a las variables de nivel, las cuales determinan su variacion a traves del tiempo. Y las variables auxiliares representan pasos intermedios para hallar las variables de flujo a traves de las variables de nivel.

Introducción a la Dinámica de Sistemas, Aracil

Estuve buscando en los libros de donde el Ing. Llanos había sacado el término de "variable de nivel" y es que cuando uno comienza a hacer los diagramas forrester se encuentra con el témino "stock" que he estado traduciendo como "existencias". Sin embargo, al fin me decidí a terminar de leer un libro que lo tenía 'empolvado' entre mis archivos de mi pc y encontré el libro Introducción a la Dinámica de Sistemas de Javier Aracil donde encontré que hacia mención a los "stock" como variables de nivel.

Este libro consta de cuatro capítulos.

Primero podemos observar una introducción para aquellos que están iniciando con la dinámica de sistemas, generalidades, algunas definiciones básicas como definir que es un sistema y las aplicaciones de la dinámica de sistemas, que quise mencionarlas pero prefiero que se den cuenta cuando empiece a realizar modelos.

En el segundo capítulo se señala la estructura general de cualquier sistema, se muestra un lenguaje elemental para la descripcion de los sistemas. Detallando los bucles de retroalimentacion positiva, negativa, así como una explicación de los retrasos. 

A partir del tercer capítulo, se pasa de la estructura realizada en el segundo capitulo al comportamiento.

Finalmente el cuarto capitulo, trata de la construccion y el analisis de un modelo.

Los dos primeros capitulos, si lo llegan a leer son definiciones basicas encontradas en cualquier libro. A los dos ultimos capitulos me gustaría postear y analizar algunas cosas que mostraré en otras entradas.