Consideraré a una población inicialmente sana. La infección se va propagando mediante una tasa de contagio hasta alcanzar a toda la población. Se pueden encontrar las siguientes relaciones:
R1: + tasa de contagio (TC) ==> +poblacion infectada (PI)
A su vez, R2: +poblacion infectada (PI) ==> +tasa de contagio (TC)
R3: +poblacion infectada (PI) ==> -poblacion vulnerable (PV)
R4: +población vulnerable (PV) ==> +tasa de contagio (TC)
El conjunto de estas relaciones conduce al diagrama integrado siguiente:
Lo importante es apreciar como desde los enunciado, las relaciones, podemos llegar a este diagrama de influencias o diagrama causal. Estos encunciados serán facilitados por los especialistas en los tipos de procesos que se trabajen. Es por esto que en un trabajo de modelado se requiere de especialistas del sistema que estamos estudiando.
Más adelante se verá esta relacion de ida y vuelta que se tiene con la tasa de contagio (TC) y la población infectada (PI), como saben, los que llevaron el curso con el Ing. Llanos, una relación no es directamente de ida y vuelta, siempre hay intermediarios para que se retroalimente. Solo que como este es un modelo sencillo, inicial no se está tomando en cuenta.
Ahora correspondería identificar los tipos de variables que encontramos en el diagrama causal.
La unica variable de nivel sería la Poblacion Infectada (PI), y su crecimiento, osea la variable de flujo sería la Tasa de Contagio (TC). Vemos que se cumple la relacion:
Tasa de Contagio (TC) ==> Poblacion Infectada (PI)
La poblacion vulnerable es una variable auxiliar, debido a que representa un paso intermedio para la determinacion de la tasa de contagio a partir de la poblacion infectada y la población total. También encontramos a las variables exógenas, son aquellas que no estamos modelando y que se convierten en externas a nuestro modelo, esto va a depender del modelo que hayamos creado. En este caso tendríamos a la población total (PT). Además encontramos en el modelo ciertos parámetros que son util para completar el modelo como: las infecciones por contagio (IPC), la tasa normal de contagio (TNC)
Entonces, con estos datos podemos ir realizando el diagrama forrester, el cual quedaría del siguiente modo:
Vamos a ver como para los sistemas mas grandes el paso del diagrama causal al forrester es mas sencillo que el previo estudio y determinacion de las causalidades. En el diagrama forrester podemos colocar las ecuaciones matemáticas funcionales del modelo. A continuación se muestran las ecuaciones funcionales de modelo.
Primero la relación entre la tasa de contagio(TC) y la poblacion infectada (PInf):
PInf(t) = PInf(t - dt) + (TC) * dt
Lo que indica que para calcular la poblacion infectada en el tiempo t sumamos la cantidad la poblacion que había en el tiempo t-dt y la tasa de contagio multiplicado por el dt transcurrido.
La ecuacion anterior tambien se puede expresar del siguiente modo:
dPinf/dt = TC(t)...............(1)
Para hallar la tasa de contagio tenemos la siguiente ecuacion:
TC(t) = IPC*TNC*PVul(t)*PInf(t) ...........(2)
Esta ecuacion es una muestra de lo que se conoce como ecuacion de flujo.
Ademas tambien aparace la variable auxiliar poblacion vulnerable (PVul) la cual la calculamos:
PVul = PT-PInf..............(3)
Reemplazando (2) en (3):
TC(t) = IPC*TNC*(PT-PInf(t))*PInf(t)
Sea x=Pinf(t), p=IPC*TNC y v=PT:
TC(t)= p*(v-x)*x........(4)
Reemplazando (4) en (1):
dx/dt=px(v-x)
Esta es una ecuación de la forma:
dx/dt=f(x,p)
que representa lo que los matemáticos conocen como un sistema dinámico.
Estas ecuaciones se pueden llevar a simulación en un computador usando diversos programas. Uno de ellos, el que yo voy a usar en mis modelos es el Stella v.8 el cual me arroja lo siguiente:
La interpretación de este modelo es simple y facil de entender por las pocas variables consideradas. Este fue un ejemplo ilustrativo para que se familiaricen, quienes no lo estan con la simulacion de un sistema. El modelo varia si consideramos el aumento de la poblacion o muertes causadas por la infección, cosa que en este modelo no se ha considerado.
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